Motstånd och impedans i en AC-krets

Vill du skapa webbplats? Hitta gratis WordPress-teman och plugins. I-v-relationerna mellan motstånd, kondensatorer och induktorer kan uttryckas i fasnotation. Som fasorer tar varje iv-samband formen av en generaliserad Ohms lag: V=IZV=IZ där fasstorheten Z är känd som impedans. För ett motstånd, en induktor och en kondensator är impedanserna respektive: ZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωCZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωC Kombinationer av motstånd, induktorer och kapacitans kan representeras av en enda ekvivalent impacitans av formen: Z(jω)=R(jω)+jX(jω)enheter av Ω (ohm)Z(jω)=R(jω)+jX(jω)enheter av Ω (ohm) där R (jω) och X (jω) är kända som "resistans" respektive "reaktans" delar av den ekvivalenta impedansen Z. Båda termerna är i allmänhet funktioner av frekvensen ω. Admittansen definieras som inversen av impedansen. Y=1Zenheter av S (Siemens)Y=1Zenheter av S (Siemens) Följaktligen kan alla DC-kretsrelationer och tekniker som introduceras i kapitel 3 utökas till AC-kretsar. Det är alltså inte nödvändigt att lära sig nya tekniker och formler för att lösa AC-kretsar; det är bara nödvändigt att lära sig att använda samma tekniker och formler med fasorer. Generaliserad Ohms lag Impedanskonceptet speglar det faktum att kondensatorer och induktorer fungerar som frekvensberoende motstånd. Figur 1 visar en generisk växelströmskrets med en sinusformad spänningskälla VS-fasor och en impedansbelastning Z, som också är en fasor och representerar effekten av ett generiskt nätverk av motstånd, kondensatorer och induktorer. Figur 1 Impedanskonceptet Den resulterande strömmen I är en fas som bestäms av: V=IZGeneralized Ohms Law (1)V=IZGeneralized Ohms Law (1) Ett specifikt uttryck för impedansen Z hittas för varje specifikt nätverk av motstånd, kondensatorer och induktorer anslutna till källan. För att bestämma Z är det först nödvändigt att bestämma impedansen för motstånd, kondensatorer och induktorer med: Z=VIDdefinition av impedans(2)Z=VIDdefinition av impedans(2) En gång impedansen för varje motstånd, kondensator och induktor i ett nätverk är känt, kan de kombineras i serie och parallellt (med de vanliga reglerna för motstånd) för att bilda en likvärdig impedans "sett" av källan. Impedans hos ett motstånd. iv-förhållandet för ett motstånd är naturligtvis Ohms lag, som i fallet med sinusformade källor skrivs som (se figur 2): Figur 2 För ett motstånd, VR(t)=iR(t)R vR(t)=iR(t)R(3)vR(t)=iR(t)R(3) eller, i fasform, VRejωt=IRejωtRVRejωt=IRejωtR Där VR=VRejθtVR=VRejθt och IR=IRejθtIR=IRejθt är fasorer. Båda sidorna av ovanstående ekvation kan delas med ejωt för att ge: VR=IRR(4)VR=IRR(4) Impedansen för ett motstånd bestäms sedan utifrån definitionen av impedans: ZR=VRIR=R(5)ZR= VRIR=R(5) Alltså: ZR = R Impedans för ett motstånd Impedansen för ett motstånd är ett reellt tal; det vill säga den har en magnitud R och en nollfas, som visas i figur 2. Impedansens fas är lika med fasskillnaden mellan spänningen över ett element och strömmen genom samma element. När det gäller ett motstånd är spänningen helt i fas med strömmen, vilket gör att det inte finns någon tidsfördröjning eller tidsförskjutning mellan spänningsvågformen och strömvågformen i tidsdomänen. Figur 2 Fasordiagram över ett motstånds impedans. Kom ihåg att Z=V/L Det är viktigt att komma ihåg att fasspänningarna och strömmarna i AC-kretsar är funktioner av frekvens, V = V (jω) och I = I (jω). Detta faktum är avgörande för att bestämma impedansen hos kondensatorer och induktorer, som visas nedan. Impedans för en induktor. iv-förhållandet för en induktor är (se figur 3): Figur 3 För en induktor vL(t)=LdiL(t)dt(6)vL(t)=LdiL(t)dt(6) Vid detta punkt är det viktigt att gå försiktigt fram. Tidsdomänuttrycket för strömmen genom induktorn är: iL(t)=ILcos(ωt+θ)(7)iL(t)=ILcos⁡(ωt+θ)(7) Så att ddtiL(t)=− ILωsin(ωt+θ)=ILωcos(ωt+θ+π/2)=Re(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re[IL(jω)ejωt+θ]ddtiL(t)=−ILωsin⁡(ωt+θ) =ILωcos⁡(ωt+θ+π/2)=Re⁡(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[IL(jω)ejωt+θ] Lägg märke till att nettoeffekten av tidsderivatan är att producera en extra ( j ω) termen tillsammans med det komplexa exponentiella uttrycket av iL(t). Det vill säga: Tidsdomän Frekvensdomän d/dtd/dt jωjω Därför är fasekvivalenten för iv-förhållandet för en induktor: VL=L(jω)IL(8)VL=L(jω)IL(8) Impedansen för en induktor bestäms sedan utifrån definitionen av impedans: ZL=VLIL=jωL(9)ZL=VLIL=jωL(9) Således: ZL=jωL=ωL∠π2 Impedans för en induktor (10)ZL=jωL=ωL∠π2 Impedans för en induktor (10) Impedansen för en induktor är ett positivt, rent imaginärt tal; det vill säga den har en storlek på ωL och en fas på π/2 radianer eller 90◦, som visas i figur 4. Som tidigare är impedansens fas lika med fasskillnaden mellan spänningen över ett element och strömmen genom samma element. I fallet med en induktor leder spänningen strömmen med π/2 radianer, vilket betyder att en egenskap (t.ex. en nollgenomgångspunkt) hos spänningsvågformen inträffar T /4 sekunder tidigare än samma egenskap hos strömvågformen. T är den vanliga perioden. Observera att induktorn beter sig som ett komplext frekvensberoende motstånd och att dess storlek ωL är proportionell mot vinkelfrekvensen ω. Således kommer en induktor att "hämma" strömflödet i proportion till källsignalens frekvens. Vid låga frekvenser fungerar en induktor som en kortslutning; vid höga frekvenser fungerar den som en öppen krets. Figur 4 Fasordiagram över impedansen för en induktor. Kom ihåg att Z=V/L impedans för en kondensator Dualitetsprincipen föreslår att proceduren för att härleda impedansen för en kondensator bör vara en spegelbild av proceduren som visas ovan för en induktor. iv-relationen för en kondensator är (se figur 5): Figur 5 För en kondensator iC(t)=CdvC(t)dt(11)iC(t)=CdvC(t)dt(11) Tidsdomänuttrycket för spänningen över kondensatorn är: vC(t)=VCcos(ωt+θ)(12)vC(t)=VCcos⁡(ωt+θ)(12) Sådan att ddtvC(t)=−VCωsin(ωt+θ) =VCωcos(ωt+θ+π/2)=Re(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re[VC(jω)ejωt+θ]ddtvC(t)=−VCωsin⁡(ωt+θ)=VCωcos⁡(ωt+ θ+π/2)=Re⁡(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[VC(jω)ejωt+θ] Lägg märke till att nettoeffekten av tidsderivatan är att producera en extra ( j ω) term tillsammans med komplext exponentiellt uttryck av vC(t). Därför är fasekvivalenten för iv-förhållandet för en kondensator: IC=C(jω)VC(13)IC=C(jω)VC(13) Impedansen för en induktor bestäms sedan utifrån definitionen av impedans: ZC= VCIC=1jωC=−jωC(14)ZC=VCIC=1jωC=−jωC(14) Alltså: ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15)ZC=1jωC=−jωC=1ωC(2−15) En kondensators impedans är ett negativt, rent imaginärt tal; det vill säga den har en magnitud på 1/ωC ​​och en fas på −π/2 radianer eller −90o, som visas i figur 6. Som tidigare är impedansens fas lika med fasskillnaden mellan spänningen över ett element och strömmen genom samma element. I fallet med en kondensator släpar spänningen efter strömmen med π/2 radianer, vilket innebär att en egenskap (t.ex. en nollgenomgångspunkt) hos spänningsvågformen inträffar T/4 sekunder senare än samma egenskap hos strömvågformen . T är den gemensamma perioden för varje vågform. Figur 6 Fasordiagram över impedansen för en kondensator. Kom ihåg att Z=V/L Observera att kondensatorn också beter sig som ett komplext frekvensberoende motstånd, förutom att dess magnitud 1/ωC ​​är omvänt proportionell mot vinkelfrekvensen ω. Således kommer en kondensator att "hämma" strömflödet i omvänd proportion till källans frekvens. Vid låga frekvenser fungerar en kondensator som en öppen krets; vid höga frekvenser fungerar den som en kortslutning. Generaliserad impedans Impedanskonceptet är mycket användbart för att lösa växelströmskretsanalysproblem. Det tillåter nätverkssatser som utvecklats för DC-kretsar att tillämpas på AC-kretsar. Den enda skillnaden är att komplex aritmetik, snarare än skalär aritmetik, måste användas för att hitta den ekvivalenta impedansen. Figur 7 visar ZR(jω), ZL(jω) och ZC(jω) i det komplexa planet. Det är viktigt att betona att även om impedansen för motstånden är rent reell och impedansen för kondensatorer och induktorer är rent imaginär, kan den ekvivalenta impedansen som ses av en källa i en godtycklig krets vara komplex. Figur 7 Impedansen för R, L och C visas i det komplexa planet. Impedanser i den övre högra kvadranten är induktiva medan de i den nedre högra kvadranten är kapacitiva. Z(jω)=R+X(jω)(16)Z(jω)=R+X(jω)(16) Här är R resistans och X är reaktans. Enheten för R, X och Z är ohm. Tillträde Det föreslogs att lösningen av vissa kretsanalysproblem kunde hanteras lättare i termer av konduktans än resistanser. Detta gäller till exempel när man använder nodanalys, eller i kretsar med många parallella element, eftersom konduktans i parallell adderas som motstånd i serie gör. I växelströmskretsanalys kan en analog storhet definieras - den ömsesidiga av komplex impedans. Precis som konduktansen G definierades som inversen av resistans, definieras admittans Y som inversen av impedansen: Y=1Zenheter av S (Siemens)(17)Y=1Zenheter av S (Siemens)(17) Närhelst impedansen Z är enbart real, admittansen Y är identisk med konduktansen G. I allmänhet är emellertid Y komplex. Y=G+jB(18)Y=G+jB(18) där G är AC-konduktansen och B är susceptansen, vilket är analogt med reaktansen. Tydligen är G och B relaterade till R och X; förhållandet är dock inte en enkel invers. Om Z = R + jX , då är admittansen: Y=1Z=1R+jX(19)Y=1Z=1R+jX(19) Multiplicera täljaren och nämnaren med det komplexa konjugatet Z ̄ = R − jX: Y= ¯¯¯¯Z¯¯¯¯ZZ=R−jXR2+X2(20)Y=Z¯Z¯Z=R−jXR2+X2(20) och dra slutsatsen att G=RR2+X2(21)B=−XR2 +X2G=RR2+X2(21)B=−XR2+X2 Lägg särskilt märke till att G inte är den reciproka av R i det allmänna fallet! Hittade du apk för Android?

Lämna ett meddelande 

meddelande~~POS=TRUNC